用數學歸納法，四個公式都證明了，照理我們已可心滿意足。但是，仔細一想，這種證明法，巧妙固然巧妙，卻有一個大大的困難在裏麵，這困難並不在從Sn證Sn+1這第二、第三兩步，而在第一步發現我們所要假定的Sn的公式的形式。假如別人不曾將這公式提出來，你要從一項、兩項、三項、四項……老老實實地相加而發現一般的形式，這雖然不好說不可能，但真是不容易，因此我們再說另外一種找尋這幾個公式的方法。
我把這一種方法，叫分項加合法，這是一種知道了一個級數的一般項，而求這級數的n項的和的一般的方法。
什麽叫級數，算術級數和幾何級數，大概已早在你洞鑒之中了。那麽，可以更廣泛地說，一串數，依次兩個兩個地有相同的一定的關係存在，這串數就叫級數。比如算術級數每兩項的差是相同的一定的，幾何級數每兩項的比是相同的一定的。當然在級數中，這兩種算是最簡單的，其他的都比較複雜，所以每兩項的關係也比較不易發現。
四個一般項除了（1）的而外，都可認為是兩項以上合成的。在一般項中，設n為1，就得第一項；設n為2，就得第二項；設n為3，就得第三項……設n為什麽數，就得第什麽項。所以對於一個級數，倘若能夠知道它的一般項，我們要求什麽項都可以算出來。
為了寫起來便當，我們來使用一個記號，例如
Sn=1+2+3+4+…+n
我們就寫成∑n，讀作Sigman n。∑是一個希臘字母，相當於英文的S。S是英文Sum（和）的第一個字母，所以用∑表示和的意思。而∑n便表示從1起，順著加2，加3，加4，……一直加到n的和。同樣地，
∑n（n+1）=1×2+2×3+3×4+4×5+…+n（n+1）
∑n2=12+22+32+42+…+n2
記好這個符號的用法和上麵所說過的各種一般項，就可得出下麵的四個式子：