前一種的證明法，自然比較地來得有根底，不像用數學歸納法那樣地突然。但還有一點，不能使我們滿意，不是嗎？每個式子的分母都是1×2×3，就前麵的證明中看來，明明隻應當是2×3，為什麽要寫成1×2×3呢？這一點，若再用別一種方法來尋求這些公式，那就可以恍然了。
這一種方法可以叫它作差級數法。所謂擬形級數，不過是差級數法的特別情形。
怎樣叫差級數？算術級數就是差級數中最簡單的一種，例如1、3、5、7、9……這是一個算術級數，因為
3-1=5-3=7-5=9-7=……=2
但是，王老頭子的湯團的堆法，從頂上一層起，順次是1、4、9、16、25……各各兩項的差是：
4-1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9……
這些差全不相等，所以不能算是算術級數，但是這些差，3、5、7、9……的每兩項的差卻都是2。
再如第二種三角錐的堆法，從頂上起，各層的個數依次是1、3、6、10、15，各各兩項的差是，
3-1=2，6-3=3，10-6=4，15-10=5……
這些差也全不相等，所以不是算術級數，不過它和前一種一樣，這些差數依次兩個的差是相等的，都是1。
我們來另找個例子，如13、23、33、43、53、63……這些數實行乘出來便是1、8、27、64、125、216……而，
（Ⅰ）
8-1=7，27-8=19，64-27=37，125-64=61，216-125=91……
（Ⅱ）
19-7=12，37-19=18，61-37=24，91-61=30……
（Ⅲ）
18-12=6，24-18=6，30-24=6……
這是到第三次的差才相等的。
再來一個例子，如2、20、90、272、650、1332……
（Ⅰ）
20-2=18，90-20=70，272-90=182，650-272=378，
1332-650=682……
（Ⅱ）
70-18=52，182-70=112，378-182=196，682-378=304……
（Ⅲ）
112-52=60，196-112=84，304-196=108……
（Ⅳ）
84-60=24，108-84=24……