這裏所要說明的“數學”這一個詞，包含著算術、代數、幾何、三角，等等在內。用英文名詞來說，那就是Mathematics。它的定義，照平常的想法，非常簡單而且非常明了，幾乎已用不到再加說明。但真要說明，那卻問題很多。且先舉羅素在他所著的《神秘主義與邏輯及其他論文》提出的定義，真是叫人莫名其妙，好像在開玩笑的一般。他說：
“Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true．”
將這句話很粗疏地譯出來，就是：
“數學是這樣的一回事，弄它這種玩意兒的人也不知道自己究竟在幹些什麽。”
這樣的定義，它的惝恍迷離，它的其妙莫測[1]，真是“不說還明白，一說反糊塗”。然而，要將已經發展到現時的數學的領域統括得完全，要將它的繁複燦爛的內容表示得活躍，好像除了這樣也沒有別的更好的話可說了。所以帕佩裏茨、伊特爾森和路易·古度拉特幾位先生對於數學所下的定義也是和這個氣味相同的。
對於數學的一般的讀者，這定義，恐怕反使得大家墮入五裏霧中，因此撥雲霧見青天的工作似乎少不來了。羅素所下的定義，它的價值在什麽地方呢？它所指示的是什麽呢？要回答這些問題，還是用數學的其他的定義來相比較更容易明白。
在希臘，亞裏士多德那個時代，不用說，數學的發達[2]還很幼稚，領域也極狹小，所以數學的定義隻需說它是一種“計量的科學”，已很可使人心滿意足了。可不是嗎？這個定義，初學數學的人是極容易明白而且能夠滿足的。他們解四則問題、學複名數[3]的計算，再進到比例、利息，無一件不是在計算量。就是學到代數、幾何、三角，也還不容易發現這個定義的破綻。然而仔細一想，它實在有些不妥帖。第一，什麽叫作量，雖則我們可以常識來解釋，但真要將它的內涵弄個明白，也不容易。因此用它來解釋別的名詞，依然不能將那名詞的概念明了地表出。第二，就是照常識來解釋量，所謂計量的科學這個謂語也不能夠就明確地劃定數學的領域。像測量、統計這些科學，雖則它們各有特殊的目的，它們也隻是一種計量。由此可以知道，單用“計量的科學”這一個謂語聯係到數學而成一個數學的定義，未免廣泛了一點。